Lernziele
- Frequenz und Wellenlänge über λ = c/f ineinander umrechnen und Größenordnungen (m, cm, mm) sicher zuordnen
- die Freiraumdämpfung aus Distanz und Frequenz berechnen und die 6-dB-Regel bei Verdopplung anwenden
- das R⁴-Gesetz der Radargleichung aus zwei Kugelwellen herleiten
- die Shannon-Kapazität aus Bandbreite und SNR bestimmen und SNR zwischen dB und linear umrechnen
- mit dB rechnen: Faktor 10 vs. 20, dBm/dBW, Kettenrechnung durch Addition
- den Radiohorizont mit dem 4/3-Erde-Modell abschätzen
- Schwingungen als Zeiger darstellen, sie addieren und ein Signal in seine Harmonischen zerlegen
Wellenlänge und Frequenz #
Wellenlänge und Frequenz einer elektromagnetischen Welle sind über die Lichtgeschwindigkeit verknüpft – die Basis fast jeder HF-Rechnung.
- λ
- Wellenlängein m
- c
- Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, 299.792.458 m/s
- f
- Frequenzin Hz
Herleitung: Eine ebene Welle hat die Phase φ = ω·t − k·x mit der Kreisfrequenz ω = 2π·f und der Wellenzahl k = 2π/λ. Ihre Phasengeschwindigkeit ist v = ω/k = f·λ. Im Vakuum ist v = c, also c = f·λ und damit λ = c/f.
| Frequenz | Wellenlänge | Anwendung |
|---|---|---|
| 100 MHz | 3,0 m | UKW-Rundfunk |
| 2,4 GHz | 12,5 cm | WLAN, Mikrowellenherd |
| 5 GHz | 6,0 cm | WLAN 5 GHz |
| 28 GHz | 1,1 cm | 5G mmWave |
| 77 GHz | 3,9 mm | Automotive-Radar |
Zeiger und Spektrum #
Zwei Werkzeuge stecken hinter fast jeder HF-Rechnung: die Darstellung einer Schwingung als rotierender Zeiger und die Zerlegung eines Signals in Harmonische.
- Û
- Scheitelwert (Länge des Zeigers)in V
- ω
- Kreisfrequenz, ω = 2π·fin rad/s
- φ
- Nullphasenwinkel (Vordrehung des Zeigers)in rad
Eine Schwingung lässt sich als Zeiger der Länge Û darstellen, der mit ω rotiert; ihr Momentanwert ist seine senkrechte Projektion. Der Nutzen zeigt sich beim Addieren: Zwei Schwingungen gleicher Frequenz überlagern sich wie Vektoren. Bei φ = 0° addieren sich die Amplituden, bei 90° ergibt sich das √2-fache, bei 180° löschen sie sich aus. Genau so entstehen Mehrwegeschwund, die Nullstellen einer Antennengruppe und die Seitenbänder einer Modulation.
Umgekehrt lässt sich jedes periodische Signal als Summe von Sinusschwingungen ganzzahliger Vielfacher der Grundfrequenz schreiben — das ist die Fourier-Reihe. Für die Funktechnik heißt das: Ein Rechtecksignal ist nie schmalbandig. Je steiler die Flanke, desto mehr Harmonische, desto breiter das belegte Spektrum. Deshalb werden Tastsignale verschliffen und Schaltnetzteile gefiltert.
- aₙ
- Amplitude der n-ten Harmonischenin —
- n
- Ordnungszahl der Harmonischen (n = 1: Grundwelle)in —
- ω₀
- Kreisfrequenz der Grundwellein rad/s
Freiraumdämpfung (FSPL) #
Die Freiraumdämpfung beschreibt den Signalverlust einer Welle im freien Raum ohne Hindernisse oder Atmosphäre – rein durch die geometrische Ausbreitung.
- d
- Distanzin m
- f
- Frequenzin Hz
- c
- Lichtgeschwindigkeitin m/s
Herleitung aus der Friis-Gleichung: Ein isotroper Strahler verteilt P_t auf die Kugelfläche 4π·d², die Leistungsdichte ist S = P_t/(4π·d²). Eine isotrope Empfangsantenne hat die Wirkfläche A_e = λ²/(4π), empfängt also P_r = S·A_e = P_t·λ²/(4π·d)². Das Verhältnis P_t/P_r in dB ist die FSPL: 20·log₁₀(4π·d/λ) = 20·log₁₀(4π·d·f/c).
| Frequenz | Distanz | FSPL |
|---|---|---|
| 2,4 GHz | 100 m | 80,1 dB |
| 2,4 GHz | 1 km | 100,1 dB |
| 5,0 GHz | 1 km | 106,4 dB |
| 2,4 GHz | 10 km | 120,1 dB |
| 12,0 GHz | 36.000 km | 205,2 dB |
- Verdopplung der Distanz → +6 dB Dämpfung (20·log₁₀ 2 ≈ 6,02 dB).
- Verdopplung der Frequenz → +6 dB Dämpfung; die Wirkfläche der Antenne schrumpft mit λ².
- Die FSPL enthält keine Absorption – Regen, Gase und Hindernisse kommen zusätzlich dazu.
Radargleichung #
Die Radargleichung beschreibt die empfangene Leistung nach Reflexion an einem Ziel – Hin- und Rückweg plus Rückstreuquerschnitt.
- P_r
- Empfangene Leistungin W
- P_t
- Sendeleistungin W
- G
- Antennengewinn (linear, gleiche Antenne für Senden und Empfangen)
- λ
- Wellenlängein m
- σ
- Radarquerschnitt des Zielsin m²
- R
- Entfernung zum Zielin m
Herleitung: Leistungsdichte am Ziel S₁ = P_t·G/(4π·R²); das Ziel streut P_refl = S₁·σ isotrop zurück; am Empfänger herrscht S₂ = P_refl/(4π·R²); die Antenne fängt mit A_e = G·λ²/(4π) die Leistung P_r = S₂·A_e ein. Zweimal 1/R² ergibt 1/R⁴.
| Objekt | σ |
|---|---|
| Insekt | 10,0 mm² |
| Vogel | 100,0 cm² |
| Stealth-Jet | 50,0 cm² |
| Drohne (klein) | 1.000,0 cm² |
| Mensch | 1 m² |
| Kleinflugzeug | 2 m² |
| Kampfjet (konventionell) | 5 m² |
| PKW | 100 m² |
| Verkehrsflugzeug | 100 m² |
| LKW | 200 m² |
| Schiff (klein) | 1.000 m² |
| Schiff (groß) | 10.000 m² |
Impulsradar, Doppler-Effekt und Radarquerschnitt mit interaktiven Widgets: Kapitel Radar-Grundlagen. Zahlen einsetzen: Radar-Reichweitenrechner.
Shannon-Hartley-Theorem #
Die theoretische Obergrenze der fehlerfreien Datenrate über einen gestörten Kanal – das Fundament der digitalen Nachrichtentechnik.
- C
- Kanalkapazität (maximale fehlerfreie Datenrate)in bit/s
- B
- Bandbreite des Kanalsin Hz
- SNR
- Signal-Rausch-Verhältnis – linear, nicht in dB
Die spektrale Effizienz η = C/B = log₂(1 + SNR) gibt an, wie viele Bit pro Sekunde und Hertz Bandbreite maximal möglich sind. Reale Systeme bleiben wegen Codierung, Roll-off und Signalisierung darunter.
| Standard | Bandbreite | Typ. SNR | Shannon-Grenze | η |
|---|---|---|---|---|
| WLAN 802.11n | 40 MHz | 25 dB | 332 Mbit/s | 8,31 bit/s/Hz |
| LTE (20 MHz) | 20 MHz | 20 dB | 133 Mbit/s | 6,66 bit/s/Hz |
| 5G NR (100 MHz) | 100 MHz | 20 dB | 666 Mbit/s | 6,66 bit/s/Hz |
Dezibel-Rechnung #
Das Dezibel ist ein logarithmisches Verhältnismaß: Verstärkungen und Dämpfungen werden addiert statt multipliziert.
- dBm
- Leistung bezogen auf 1 mW: P_dBm = 10·log₁₀(P/1 mW). 0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W.
- dBW
- Leistung bezogen auf 1 W: P_dBW = 10·log₁₀(P/1 W). Umrechnung: dBm = dBW + 30.
- dBµV
- Spannung bezogen auf 1 µV: U_dBµV = 20·log₁₀(U/1 µV) – üblich in EMV und Antennenmesstechnik.
- dBi
- Antennengewinn bezogen auf den isotropen Kugelstrahler.
| dB | Leistungsfaktor | Spannungsfaktor |
|---|---|---|
| 0 dB | × 1,00 | × 1,00 |
| +1 dB | × 1,26 | × 1,12 |
| +2 dB | × 1,58 | × 1,26 |
| +3 dB | × 2,00 | × 1,41 |
| +6 dB | × 3,98 | × 2,00 |
| +10 dB | × 10,00 | × 3,16 |
| +20 dB | × 100 | × 10,00 |
| +30 dB | × 1.000 | × 31,62 |
| +40 dB | × 10.000 | × 100 |
| -3 dB | × 0,50 | × 0,71 |
| -6 dB | × 0,25 | × 0,50 |
| -10 dB | × 0,10 | × 0,32 |
| -20 dB | × 0,01 | × 0,10 |
- +3 dB ≈ doppelte Leistung, −3 dB ≈ halbe Leistung (Bandbreitengrenze).
- +10 dB = zehnfache Leistung, +20 dB = hundertfache Leistung.
- +6 dB = doppelte Spannung = vierfache Leistung.
Radiohorizont #
Die maximale Entfernung einer direkten Sichtverbindung, begrenzt durch Erdkrümmung und atmosphärische Refraktion.
- d
- Distanz zum Horizontin km
- k
- Refraktionsfaktor, typisch 4/3 ≈ 1,333
- R
- Erdradius, 6.371 km
- h
- Antennenhöhein km
| Antennenhöhe | Ohne Refraktion (k = 1) | Mit Refraktion (k = 4/3) |
|---|---|---|
| 2 m (Handfunkgerät) | 5,0 km | 5,8 km |
| 10 m (Dachantenne) | 11,3 km | 13,0 km |
| 30 m (Hausdach) | 19,6 km | 22,6 km |
| 100 m (Funkturm) | 35,7 km | 41,2 km |
| 300 m (Fernsehturm) | 61,8 km | 71,4 km |
Quellen
- H. T. Friis, „A Note on a Simple Transmission Formula", Proc. IRE 34 (1946) – Freiraumdämpfung.
- C. E. Shannon, „A Mathematical Theory of Communication", Bell System Technical Journal 27 (1948).
- ITU-R P.525 (Freiraumdämpfung), ITU-R P.834 (Refraktion, 4/3-Erde).
- M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3. Aufl. – Radargleichung und RCS-Tabelle.